2014年9月2日星期二

Hyperreal number

到底,什麼是Hyperreal number?real number之如仲有得hyper?什麼是Infinitesimal?如何用infinitesimal重新定義Calculus而不用epsilon和delta?好有興趣知道是什麼東東來的,但手頭上已經同時睇緊兩份PDF,再同時睇埋這本Foundations of Infinitesimal Calculus,我驚個腦會爆炸。

來源:Hyperreal numbers: infinities and infinitesimals

SymPy tutorial

這是一個十分好的tutorial [PDF],專為maths和Physics而設。

2014年8月28日星期四

Nested interval theorem

是咁的,Interval是一個線段,例如 [0, 1],即是任何一數 x 在 0 ≤ x ≤ 1。又或無限長的 (0, ∞),即是 x > 0 。Nested interval就是一個sequence,但它的item In不是number,而是interval,而且每個interval也包含下一個interval的範圍在內。如 In = [0, 1/n]

{[0, 1], [0, 1/2], [0, 1/3], ...}

這便是Nested interval。Interval [a, b],a < b,a1 ≤ a2,b1 ≥ b2,所以,

a ≤ a1 ≤ an < bn ≤ b1 ≤ b

Nested interval theorem就話,凡是close nested interval,都必定有non empty intersection ∩In ≠ ∅。以上例子,intersection便是{0}。

如interval In = (1, 1/2n)

{(1, 1/2), (1, 1/4), (1, 1/8), ...}

Intersection本應是1,但1不在interval之內,所以intersection是empty。

初時我想,就算open interval,如 In = (-1/n, 1/n) 都有non empty intersection {0}啦,是否一定要close呢?後來得高人指教,原來是一場誤會,這理論所指是但凡close nested interval都必定有non empty intersection,與open interval有否intersection是無關的。

2014年8月26日星期二

2014年8月25日星期一

數理人文-第二期

第二期《數理人文》和創刊號相隔六個月推出,但找遍整本雜誌,不見註明是半年刊或是不定期刊物。這時我心想,這雜誌的出版時間若是sequence,會是什麼類形的sequence呢?正常來說應是Arithmetic sequence,但現在只有這sequence的頭兩個item a1 和 a2,未能就此斷定,至少也要有頭三個item才能估計。若是Geometric sequence,那麼是半年計還是六個月計呢?若是以0.5計算,下期便是第二期的三個月後,再下一期便是個半月後,今年內便要出無限多期雜誌,這應該不可能吧!但若是六個月計,下期便要三十六個月,即是三年後,亦不好啊。也許這個我可能想得太多了。

今期和上期內容比較,感覺有些悶。因為今期主題是數學和物理的關係,當中大量物理名詞並不認識,而且講及數學在物理的有效性涉及哲學層面,帶有強烈催眠成份。

比較有趣的是有關數學家Grothendieck的生平回顧,十分感人。還有詳細分析《數學少女》系列科普叢書,也是比較趣味豐富。

看了這兩期後,希望《數理人文》能以arithmetic sequence形式推出,長出長有,不會斷纜。建議內容有專題數學講解,例如淺談Abstract algebra,每期探討不同的數學範疇,就如今期觸及Dual_EC_DRBG,就不如順便介紹一下Elliptic curve,再連繫到Grothendieck研究過的Weil conjectures。還有簡介古代數學家生平和他們的貢獻,近代數學家的專訪,和最近數學界研究方向成果等都是十分有趣的題目。

2014年8月15日星期五

Common Errors

好鬼頂癮,這個Common Errors in College Math列舉讀書考試不同種類的計錯數,好鬼好笑。當中提及的錯誤,可能你同我都犯過。