2016年2月5日星期五

Interval

以前讀書,學過一個function,兩楝|x|,就係將value x負變正,正都係變正,

|-1| = |1| = 1

好似冇乜用冇乜特別。如果,

|x| ≤ 1, solve x.

要計x,先要取消Absolute value function,可以兩邊square,

x2 ≤ 1

然後再平方,就會得出

-1 ≤ x ≤ 1

後來學Real line,在一條直線上每一點都代表一個數字,直線中間定義為0,直線向左右兩邊無限伸延。那麼Absolute value function的定義可以改為計算x和real line上零點的距離,咁就容易明白得多。如果用interval表示,就是[-1, 1]

x ∈ [-1, 1]

x是這個範圍內的任何一個數。方括代表inclusive,圓括代表exclusive,例如

y ∈ (-1, 1)

即是 -1 < y < 1。

繼續研究落去,方括又叫做Close interval,圓括叫Open interval,咁一邊圓一邊方呢,[a, b)同(a, b],就不算open亦不算close。但又何謂open何謂close呢?

再大大鑊咁研究落去,Topology就有解釋,會話open定close都係睇topological space定義的。學Real line的時候,算是Real analysis入門初階,topology定義為Open interval是所有(a, b),a, b ∈ ℝ,a < b,名為Euclidean topology。(0, 1)在ℝ時係open interval,但如果在subspace (0, 0.5) ∪ (0.5, 1),(0, 1)變成了既open亦close的clopen set (0, 0.5) ∪ (0.5, 1),不是interval了。

2016年2月3日星期三

PostgreSQL

其實依家云云database,選擇相當之多,都唔知應該用邊隻。以前只得Relational database,依家又有Document-base database,如MongoDB;又有Key-value database,如Redis等等,令人眼花撩亂,選擇困難。今次試用傳統Relational database但又support Key-value datatype JSON的DB,PostgreSQL。

先將上次Redis版本的pub/sub改用PostgreSQL的Notify/Listen:

2016年1月28日星期四

Quaternion

Quaternion是4 dimension數,以a + bi + cj + dk (a, b, c, d ∈ ℝ)表示。下圖以立體方式清楚表達這數乘數運算,是乘i,是乘k,是乘j,可見 i2 = j2 = k2 = -1,ij = k。


2016年1月27日星期三

*morphism

起學習數學過程中,經常見到一串好長的terms,仲要個個都好似,串法分別好細,但意思相差好遠,就如今次簡介的*morphism。

T3 space

睇Tn space就好似打機咁,打完一關又一關,但有排都未到打大佬。

先回顧一下T0T2
T0:任何兩個element x, y in X,都有一個subset一係只有x,或只有y。
T1:任何一個element x in X,都有{x}這個close set。
T2:任何兩個不同的element x和y,都有open set U同V,x ∈ U,y ∈ V,U ∩ V = ∅。

T3 space X是T1 space之餘,有close set A,x ∈ X\A,有open set U, V,x ∈ U,A ⊆ V。因為T3 space 也是T1 space,所以有element y ∈ A ⊆ V,所以T3 space也是Tspace。

2016年1月22日星期五

無窮的Prime

近日發現一個已知最大的prime number,引來熱話。Prime number有無窮多個,以我所知証明方法有以下幾個:

Proof by contradiction

Euclid假設prime number只有有限多個,p1, p2, ... pn,然後n = p1 × p2 × ... × pn,那麼n+1的prime factor是什麼呢?n+1的factor不會是p1 ... pn,因為都coprime餘1,但和有限prime number的假設矛盾,所以有無窮多個prime。

Divergent series

Harmonic series S = 1 + 1/2 + 1/3 ....,是divergent。Euler証明

S = 1 × 1/(1 - 1/2) × 1/(1 - 1/3) × 1/(1 - 1/5) ...

如果prime number數量有限,上式右面會是有限數,左右便不相等。

Saidak's Proof

假設n有prime factor p1,n + 1和n coprime,不會有n的prime factor。假設n + 1有prime factor p1,那麼n(n + 1) + 1就不會有prime factor p0和p1,有p2。然後n(n + 1)(n(n + 1) + 1) + 1,如此下去,必定有無窮多prime number。

數學題11