2011年9月2日星期五

橢圓曲線

這是《走向數學叢書》系列,第一本讀完的新書。這系列對像為非數學本科生,數學愛好者和中學生。內容文理兼備,目的是將數學知識普及推廣,提高大眾數學水平,而並非只停留於奧數般重複解題。 誠如數學王子Gauss所言:
"Mathematics is the queen of the sciences."
數學是科學之本,香港彈丸之地,難以培育大量科研人才,亦沒此需要,但亦不希望香港只淪為購物天堂和金融中心,一場金融海潚或經濟衰退,便產生大量失業大軍。故推動產業多元化,就是推動知識形經濟,以科學和科技推動,科學之本,數學為先,故應先推動數學普及。 

談得有點離題,這本《橢圓曲線》以三角形開始,橢圓和三角有何關係呢?原來Elliptic curves雖名為橢圓,但和橢圓毫無關係,卻和直角三角形有關。一個直角三角形,三條邊a, b和c,斜邊c,已知a2 + b2 = c2,和面積是a*b/2。如果a, b, c和面積n都是rational number,n便是Congruent number。例如:32 + 42 = 52,3×4/2=6,6便是congruent number。



a 2 + b 2 = c 2 a b 2 = n a 2 + 2 a b + b 2 = c 2 + 4 n
然後將問題由三個symbol a, b, c轉化為兩個symbol x, y。設a = (x2 - n2)/y,c = (x2 + n2)/y,於是b = 2nx/y,代入ab/2 = n,便得y2 = x3 - n2x。

然後是一直懸而未決的千禧年數學難題中的BSD conjecture,和簡介解決Fermat last theorem的方法。最後是實用方面,如何應用在FactorizationEncryption。文字淺白之餘亦不失實用,但部份欠缺証明,不想在blog中post Python implementation而沒有解釋,不過全書也只百多頁,難以面面兼顧亦不為過。

每項評分1-5星
歴史☆☆☆
實用☆☆☆☆☆
理論
証明
容易☆☆☆

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