ABC conjecture

近日在網上流傳得熱騰騰的話題，相信是ABC conjecture了，因為有人上載了証明方法而多人關心了。而且，這個conjecture與別不同，一般conjecture或hypothesis或theorem等等都以提出者的姓氏命名，但這個卻叫ABC，十分有趣。那麼，什麼是ABC conjecture呢？

選擇兩個大於0並且互質的整數，即是沒有大於1的common factor，a和b，然後a + b = c，這三個數便是這conjecture的名字ABC的由來。然後計算ABC的distinct prime，因為a和b互質，所以a、b和c都是互質，然後有一function d = f(x)，計算x的distinct prime的乘積，我們計算a×b×c的distinct prime，例如：

1 + 2 = 3，f(6) = 3
9 + 14 = 23，f(9 × 14 × 23) = 966
1 + 125 = 126，f(1 × 125 × 126) =210

全部都係c <= d，但有一些例外情況，如：

1 + 8 = 9，f(1 × 8 × 9) = 6

這種情況有幾多呢，寫個program找尋一下：

import sympy

if __name__ == '__main__':
    for a in range(1, 200):
        for b in range(a + 1, 200):
            if sympy.gcd(a, b) > 1:
                continue
            c = a + b
            d = sympy.factorint(a * b * c)
            if reduce(lambda x, y: x*y, d.iterkeys()) < c:
                print(a, b, c)

Program用sympy，只計算所有a < b的case，因為a + b = b + a。執行後發現c > d的情況好罕有，a + b < 400範圍內也只得9個，在2000內也只得32個。

那麼，這些c > d的{a, b, c} triple會有多少呢，可能有無限多個，但d^{(1 + ε)}呢，ABC conjecture就估當ε是一個很少很少很少很少但大過0的數，c > d^{(1 + ε)}的情況只有有限數目。

詳情：

• What is the abc conjecture?
• Nature - Proof claimed for deep connection between primes
• The abc game
• Hacker News - 關於 Proof claimed for deep connection between prime 的意見
• John Baez - Google+ - 轉載英國牛津大學Minhyong Kim關於ABC conjecture和Mochizuki solution的意見
• ABC@home