2012年10月14日星期日

數學題1

任一自然數n,証明n7 - n可以被42整除?

42 = 2 * 3 * 7,只要証明n7 - n可以被2、3和7整除便可。

n7 - n一定是雙數,如果n是單數,單數的power也是單數,單數減單數是雙數,同理當n是雙數,故可以被2整除。

根據Fermat little theorem,a(p - 1) ≡ 1 (mod p) for all prime p,所以n7 ≡ n (mod 7),n6 ≡ 1 (mod 7)。

根據上式,n6 = (n2)3,n2 ≡ 1 (mod 3),故n6 ≡ 1 (mod 3),所以n7 - n可以被42整除。QED

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