2012年10月26日星期五

Manifold

Manifold,譯作流形,是一些像用橡膠做的物體,但和Geometry的圖形不同,manifold可以搓圓撳扁,然後研究那些manifold是一樣,和搓圓撳扁的過程中,那些特性是不變的,不變的就是Topological invariant

簡而言之,Manifold是由當中的點集合組成,就如在紙上畫一圓圈,這個是什麼manifold呢?我們研究的對像是圓圈那條線circle,或是circle所包圍的圓形呢。若是中間的圓形,便是disk。這個disk是open的,不包括用筆所畫的圓圈,當中每一點都可以在無限接近的地方找到同屬disk的一點;這個圓也是connect的,因為可以從當中任何一點,經過有限線段,連接同屬disk的另一點,當然在disk中可以一條直線便到,其它複雜的manifold便未必可以;circle是disk的boundary,boundary是所有點集合,每一點都一邊和屬於disk的點,另一邊和不屬於disk的點為鄰;close的disk便是open disk的點和boundary的點union set,若D是open disk,那close disk用 D 表示。Open或close的disk都是bounded,bounded和boundary不同,boundary是邊界,即那個circle,bounded卻是界限,如整個complex plane便不是bounded,沒有界限,可以無窮伸延,open disk便是bounded但沒有boundary。最後,若disk既是close和bounded,就稱作compact了。

以下列出不同manifold的特徵,以作比較:

χ-Euler characteristic

ManifoldBoundaryBoundedCompactDimensionGenusOrientableχ
CircleNYY1Y
Disk (Open)NYN20
Disk (Closed)YYY20
Klein bottleNYY22N0
Möbius stripYYY2N0
Real lineNNN10Y
SphereNYY20Y2
TorusNYY21Y0

此刻,頓然發覺數學神奇之處,竟然可以將一些小學所認識的英文生字重新定義。若然你看到這裏依然一頭霧水,不打緊,我和希特拉也是。

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