2012年12月20日星期四

Center與Centralizer之別

研究Group theory時,看到兩個很相似的名詞,CenterCentralizer,到底它們有何分別呢?

根據Center的定義,以Z(G)來表示group G的center,

Z(G) = {x : gx = xg | ∀g ∈ G}

Z(G)當中一定有e,因為ge = eg = g,假若x在Z(G)當中,x的inverse是x-1,便會(gx)-1 = (xg)-1,x-1g-1 = g-1x-1,x-1也會同在Z當中;然後假設x和y都是center,gx = xg,gy = yg,於是gxy = xgy = xyg,所以center是close,於是Z(G)是G的subgroup,又因為gx = xg,所以Z(G)亦是Abelian group

而Centralizer的定義,和Center十分相似,只有少許分別。以group G中的任意subset S,注意這裡的S是subset,不需要是subgroup,以CG(S)來表示,

CG(S) = {x : gx = xg | ∀g ∈ S}

所以,CG(S)是subgroup,

CG(G) = Z(G),CG({e}) = G

而center只是centralizer的一個case。若S的cardinality愈大,CG(S)這個subgroup的order反而愈小。以下是Dihedral group D4sympy的例子,

>>> import sympy.combinatorics as sc
>>> d4=sc.DihedralGroup(4)
>>> d4.centralizer(sc.Permutation(3))
PermutationGroup([
    Permutation(0, 1, 2, 3),
    Permutation(0, 3)(1, 2)])
>>> d4.center()
PermutationGroup([
    Permutation(3),
    Permutation(0, 2)(1, 3)])
>>> d4.centralizer(d4)
PermutationGroup([
    Permutation(3),
    Permutation(0, 2)(1, 3)])

Permutation(3)即是group的e。

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