2013年9月24日星期二

Discriminant

一般的polynomial如下:

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a2x2 + a1x + a0

a0 ... an稱為coefficient,在這裡全是integer。Leading term是最高power的那個x而coefficient不是0。Leading term的power便是polynomial的degree。x是唯一一個unknown,若這polynomial等如0,x的值稱為polynomial的root。問題是,如何知道這polynomial有沒有相同的root呢?

Polynomial的degree是n,會有n個包括相同的complex number的root,以Quadratic equation為例,

ax2 + bx + c = (x - α)(x - β) = 0

α和β便是root,那麼α和β是否一樣呢?只要將α和β相減,是否0便得知吧。但是不將polynomial factor,又怎知α和β是什麼呢?若然factor了求得α和β,又何需相減呢!

不用計α和β,也可得知有沒有相同root。方法很簡單,可以從coefficient得知,

ax2 + bx + c = x2 + bx/a + c/a
(x - α)(x - β) = x2 - (α + β)x + αβ

b/a = - (α + β), c/a = αβ

(α - β)2 = α2 - 2αβ + β2 = α2 + 2αβ + β2 - 4αβ = (α + β)2 - 4αβ = (b/a)2 - 4c/a = (b2 - 4ac)/a2

只要看b2 - 4ac是否0便知有沒有相同的root而不用求取root的值,這便是Discriminant

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