2013年12月15日星期日

什麼是Complex analysis?

今天考完了Coursera的Complex analysis考試,成績不過不失,大約80分。至此,整個Complex analysis的課程總算完結,是時候回顧一下這為期六星期的課程所學到的東西了。

Complex analysis是什麼呢?是一門研究complex number在不同function和微積分下的特性的一門學問。首先,complex number是什麼?

就是在x2 = -1下,x在real number是沒有solution,但若define x的solution為ⅈ,那麼所有的polynomial都有solution了

就這樣,complex number由兩個real number組成,z = x + yⅈ,x = Re(z)是complex number的real part,y = Im(z)是complex number的imaginary part,這兩數字可以對應到xy plane,變成complex plane,橫軸是real part,縱軸是imaginary part。

既然定義了負數的開方,是否需要定義另一個symbol如j作為ⅈ的開方呢?這又不必,因為ⅈ開方在complex number中有答案,

√ⅈ = x + yⅈ
ⅈ = (x + yⅈ)2
ⅈ = x2 + 2xyⅈ - y2
x2 - y2 = 0
2xyⅈ = ⅈ
x = y = 1/√2

在complex plane上,除了用x和y來定義一個complex number外,也可以用這number和原點的距離和角度來定義,z = Reⅈθ,R是z和原點的距離,又稱為modulus,表示為R = |z|,θ是角度,以逆時針方向計算,-π < θ ≤ π,又稱為argument,表示為arg(z)。

當計算範圍由real number擴闊至complex number,原有的real number function也得到擴大。如real number的y = log(x),它的image y是0 < y,但在complex number中

z = Reⅈθ
Log(z) = ln(R) + ⅈθ

原本在real number是沒有log(-1),在complex number下,Log(-1) = ⅈπ了。連ⅈ也有答案,

= eLogⅈ
 = eⅈ Logⅈ
Log ⅈ = ⅈπ/2
 = e-π/2

竟然會得到一個real number的答案,真有趣。除了log外,同樣也適用於sin cos等trigonometry function。

再進一步,就是研究complex number在calculus中的特性,和real number類似,在complex number也可以研究這function是否continuousdifferentiable,若function在某domain是differentiable的話,便稱為analytic function,若在整個complex plane也是differentiable,便稱為entire function。

由此路進,發現analytic function有著Cauchy-Riemann equations的特性。在real number,一個function是f(x): ℝ → ℝ,但在complex number,是f(z): ℂ → ℂ,當中f(z) = u(x, y) + ⅈv(x, y),function u(x, y): ℝ2 → ℝ,function v(x, y)也是。於是ux = vy,uy = -vx

經由不同的Möbius transformations,f(z) = (az + b)/(cz + d),abcd皆是constant,可以將domain的circle和line,transform成circle或line。

除了differentiation外,integration也可以由Cauchy's Integral formula獲得。

最後是power series,終於明白function的Taylor series為何能從differentiation獲得,對Riemann zeta function和Riemann hypothesis和Prime number theorem三者的關係有初步認識。

Complex number的世界相當廣闊,課程完結並非此門學問已盡於此,亦不想荒廢在這課程所學的一切,故打算研究這篇paper《A First Course in Complex Analysis》,當中補充了這課程沒有提及的Laurent seriesResidue theorem,然後再尋覓這本在網上得到很多人推薦的《Visual Complex Analysis》研究。

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