2014年8月28日星期四

Nested interval theorem

是咁的,Interval是一個線段,例如 [0, 1],即是任何一數 x 在 0 ≤ x ≤ 1。又或無限長的 (0, ∞),即是 x > 0 。Nested interval就是一個sequence,但它的item In不是number,而是interval,而且每個interval也包含下一個interval的範圍在內。如 In = [0, 1/n]

{[0, 1], [0, 1/2], [0, 1/3], ...}

這便是Nested interval。Interval [a, b],a < b,a1 ≤ a2,b1 ≥ b2,所以,

a ≤ a1 ≤ an < bn ≤ b1 ≤ b

Nested interval theorem就話,凡是close nested interval,都必定有non empty intersection ∩In ≠ ∅。以上例子,intersection便是{0}。

如interval In = (1, 1/2n)

{(1, 1/2), (1, 1/4), (1, 1/8), ...}

Intersection本應是1,但1不在interval之內,所以intersection是empty。

初時我想,就算open interval,如 In = (-1/n, 1/n) 都有non empty intersection {0}啦,是否一定要close呢?後來得高人指教,原來是一場誤會,這理論所指是但凡close nested interval都必定有non empty intersection,與open interval有否intersection是無關的。

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