2014年8月7日星期四

Sequences

剛剛看完Real analysis關於sequences的一章,試簡介如下:

Sequence

Sequence是一串數字,就像set,但和set不同的是,有一個function將每一個數字串連起來。以function mapping表示 f:ℕ→ℝ,或每一item以an表示。如f(n) = n × n,

1, 4, 9, 16, 25, ...

Arithmetic sequence

當每一個數 an 和 an+1的差都是d,這便是Arithmetic sequence,如an = 3n

3, 6, 9, 12, ...

Geometric sequence

當每一個數 an+1/an = r,這便是Geometric sequence。如 an = 2n

2, 4, 8, 16, 32, ...

Divergence

如sequence增大至無限,這便是diverge。如 an = an-1 + an-2 Fibonacci sequence

1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

Convergence

如sequence有一個limit的話,便是convergent sequence。如 an = 1/n

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...

Bounded

Sequence是converge的話便一定是bounded,但相反便未必,如 an = (-1)n

-1, 1, -1, 1, -1, ...

Monotone

如果sequence中任何item 都是 an+1 ≥ an,或an+1 ≤ an,這sequence便是monotone sequence。如an = (n-1)/n

0, 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ... 

Subsequence

在sequence中有一function g:ℕ→ℕ,subsequence bn = ag(n)。以Bounded的例子為例,g(n) = 2n,它的subsequence bn = a2n

1, 1, 1, 1, 1, ,,,

Converge/Diverge?

如何分辨一個sequence是converge還是diverge?如果sequence有limit,那就是converge,但計算limit前也要分辨出sequence是否converge先吧。若sequence是monotone和bounded,那麼這sequence一定有limit。又如果sequence有limit,它的subsequence必定有相同limit,換句話,如果sequence是diverge,它的subsequence可能會有不同的limit,所以可以用subsequence來分辨一個sequence是否diverge。

暫時有關sequence所知的就是這些。

沒有留言:

發佈留言