2015年7月10日星期五

Divisible group

Divisible group是一個Abelian group (G, +),當中每個item g,都有相對應的ny,n是任何一個正整數,y也是G的item。

n = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
g, y ∈ G
ny = g
nG = G

這裡的ny不是n × y,因為沒有定義multiplication,是y + y + ... + y 加 n 次的簡寫。Divisible group必須要abelian,否則 ny + nh ≠ n(y + h),變成set而不是group。

Divisible group也不會是finite group,假設group G的order是n,nG = {0}。

舉個例子,(ℚ, +)和(ℝ, +)都是Divisible group。(ℤ, +)不是,因為 2ℤ = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ...} ≠ ℤ,只有雙數而已。

如果Abelian group的operation是multiplication,那麼便以 yn = g。例如 (ℝ+, ×) 所有正實數,任何power都有root在ℝ+中。但如果是(ℝ#, ×),所有非零實數,因為沒有負數開方解,所以不是divisible group。(ℂ#, ×)非0複數有任何次方解,所以是divisible group。

再來以Quotient group為例子,(ℚ/ℤ, +) 是divisible group。首先ℚ/ℤ是一個怎樣的group呢?ℚ/ℤ是一個以ℤ為coset所形成的group,因為ℚ是abelian,所以left coset = right coset

n + ℤ = ℤ + n

ℚ/ℤ = {ℤ, 1/2 + ℤ, 1/3 + ℤ, 2/3 + ℤ, ...}
nℚ/ℤ = ℚ/ℤ

一個divisible group的quotient group也是divisible。Divisible group的subgroup未必是divisible,如(ℚ, +)的subgroup ℤ,Divisible subgroup是指abelian group G中最大的subgroup是divisible,以dG表示,如

dℚ = ℚ
dℚ# = ℚ+ (ℚ#在multiplication不是divisible group)

如果沒有divisible subgroup,dG = 0,稱為reduced。對Divisible group的認識就是這些了。

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