2015年8月3日星期一

Prime ideal與Maximal ideal

之前寫過好幾篇有關Group, Ring和Field的文章,依家睇返都幾好笑,都係知啲唔知啲咁。今次介紹一樣類似Subring的物體,咁先由Ring開始講起。

Ring是Additive Abelian Group之上,再define咗multiplication,但multiplication不必要commutative。要符合Distributive rule

a × (b + c) = a × b + a × c

以(R, +, ×)表示,如Integer便是Ring,(ℤ, +, ×)。

但Ring的multiplication未必是group,因為未必有multiplicative identity 1,亦未必有multiplicative inverse。

研究Group,我們會從它的Subgroup著手研究它的結構,Ring也一樣,會研究它的subset,但不是Subring,而是稱作Ideal。

I是Ring R的Ideal,如果(I, +)是(R, +)的subgroup,I中的任何element和R中的任何element 相乘,都在I中。

例如6的倍數6ℤ = {..., -12, -6, 0, 6, 12, ...}便是ℤ的ideal。6ℤ也是3ℤ = {..., -6, -3, 0, 3, 6, ...}和2ℤ = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}的ideal。

最細的ideal是{0},咁畀個名佢叫做Zero ideal。

6ℤ和3ℤ及2ℤ唔同,如4, 3都不屬於6ℤ,但4 × 3 = 12 ∈ 6ℤ。如果a × b ∈ I,而a或b在I中,那麼I稱為Prime ideal。好明顯,pℤ,p是prime number,是ℤ的Prime ideal。

如果Ideal I和Ring R之間,沒有其它Ideal,即是I ⊆ J,J ⊆ R,J一係I,一係R二選一。這個Ideal稱為Maximal ideal。好明顯,pℤ,都是ℤ的Maximal ideal。

Prime ideal同Maximal ideal在ℤ好似冇乜分別,Zero ideal {0}在ℤ中便是Prime ideal但不是Maximal ideal。

有關Polynomial ring,另文再談。

IR/I
Prime idealIntegral Domain
Maximal idealDivision Ring


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