2015年11月27日星期五

數學題9

停辦咗n年的數學題今日又再復辦,今次問題係有關Topology。問題是,n是任何natural number,証set  S = {0, 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 1/n}在real number是close

Interval [0, 1]是close, [0, 1/2], [0, 1/3], ....[0, 1/n]都是close,這些close interval的intersection是set S,infinite closed set intersection都是close。Q.E.D.這些close interval的intersection是{0}

Set S的compliment ℝ\S,是interval (-∞, 0) ∪ (1, ∞) ∪ (1/3, 1/2) ∪ (1/4, 1/3) ∪ ... ∪ (1/(n + 1), 1/n)
Open interval是Open set,open set無限union都是open set,open set的compliment是close set。所以S是close。Q.E.D.

有限或無限union的open set都是open set,但只可經有限intersection的open set才是open set。
有限union的close set是close set,但經有限或無限intersection的close set都是close set。

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