2016年1月22日星期五

數學題11


任何一個group G,都可以將element分類如下,

∀g ∈ G, x, y ∈ S, gxg-1 = y

這個名為Conjugacy class分類方法,可以將相同orbit的element x, y歸同一set S。如果group是Symantec group S3,就可以分類如下:

{(1)}
{(12), (13), (23)}
{(123), (132)}

group order = 1 + 3 + 2

每個element只屬於一個set,group identity永遠自成一set,因為g1g-1 = 1。根據Lagrange's theorem,每個element的order都是group order的factor,所以在finite group中,每個class的size,都是group order的factor。如果group order是p2,p是prime number,class size只能是1或p,所以group order只能是 = 1 + 1 + ... + 1,每個element各自一個class,即是gxg-1 = x,gx = xg,所以是abelian group。

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