2016年1月27日星期三

*morphism

起學習數學過程中,經常見到一串好長的terms,仲要個個都好似,串法分別好細,但意思相差好遠,就如今次簡介的*morphism。

當初第一次見,是在Group theory中認識的Group homomorphism,是指兩個group (G, *)和(H, ·),有function f: G → H

f(a * b) = f(a)·f(b)

設eG和eH分別是group G和group H的identity,

a * eG = a,f(a * eG) = f(a) · f(eG) = f(a) = f(a) · eH

所以function f一定會map domain group G的identify去到codomain group的identity。

舉例:f(x) = ex,f: (ℝ, +) → (R+, *)

f(x + y) = ex + y = ex * ey
f(0) = e0 = 1

如果個function f係one-one和onto,即係bijection,咁就叫Isomorphism,即是兩個group基本上相同結構,只係當中的element唔同名。

後來讀吓讀吓,讀到Galois theory,就出現咗另一個morphism,Automorphism,是所有isomorphism的function f: G → G,再將這些functions(眾數)group成一個group,叫做Aut(G),identity 就當然係f(g) = g,operation是function composition。複雜到呢!

然後無端端學Topology既時候,學到咁上下就會識Homeomorphism。呢個多個e字又係乜呢?話說起Topology,會研究一個set X的subset所組成的一個大set,稱之為Topology或topological space。咁兩個space (X1, τ1)和(X2, τ2),如何為之結構相同呢?首先X1和X2size(即Cardinality)相同,就算大家都係infinity,一個countable,另一個uncountable都不會homeomorphic。然後有bijection f: X1→X2,而且仲要求f: τ1→τ2,咁就為之homeomorphic。

純粹簡介,仲有好多,不能盡錄。

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