2016年2月5日星期五

Interval

以前讀書,學過一個function,兩楝|x|,就係將value x負變正,正都係變正,

|-1| = |1| = 1

好似冇乜用冇乜特別。如果,

|x| ≤ 1, solve x.

要計x,先要取消Absolute value function,可以兩邊square,

x2 ≤ 1

然後再平方,就會得出

-1 ≤ x ≤ 1

後來學Real line,在一條直線上每一點都代表一個數字,直線中間定義為0,直線向左右兩邊無限伸延。那麼Absolute value function的定義可以改為計算x和real line上零點的距離,咁就容易明白得多。如果用interval表示,就是[-1, 1]

x ∈ [-1, 1]

x是這個範圍內的任何一個數。方括代表inclusive,圓括代表exclusive,例如

y ∈ (-1, 1)

即是 -1 < y < 1。

繼續研究落去,方括又叫做Close interval,圓括叫Open interval,咁一邊圓一邊方呢,[a, b)同(a, b],就不算open亦不算close。但又何謂open何謂close呢?

再大大鑊咁研究落去,Topology就有解釋,會話open定close都係睇topological space定義的。學Real line的時候,算是Real analysis入門初階,topology定義為Open interval是所有(a, b),a, b ∈ ℝ,a < b,名為Euclidean topology。(0, 1)在ℝ時係open interval,但如果在subspace (0, 0.5) ∪ (0.5, 1),(0, 1)變成了既open亦close的clopen set (0, 0.5) ∪ (0.5, 1),不是interval了。

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